समीकरण में पक्षान्तर = लड़की के उपनाम में पक्षान्तर

                               

                        दोस्तों आप सबके कुशलता की कामना के साथ मेरा सादर नमस्कार -

                                         2x + 5  = 35 

                                इस प्रश्न का जवाब बहुत ही आसान है और शायद आप सब इसे सरलता से हल भी कर पायेंगें। इसप्रकार के सवालों को जब मैं बच्चों को बताते रहता हूँ। तब मेरे जेहन में सिर्फ और सिर्फ एक ही बात कौंधते रहता है कि क्या इसका हल हमारे समाजिक ताने -बाने में ही विद्यमान है।क्या आप सबको ऐसा नहीं लगता।

                                                                                                                                                                               आज से कुछ सप्ताह पहले मैंने शिल्पा शेट्टी कुंद्रा के माँ बनने की खबर पढ़ी थी। मुझे उनके नाम से ही इस लेख को लिखने का विचार आया था। अन्य सेलेब्रटीज़ जैसे - माधुरी दीक्षित नेने,जया बच्चन,प्रियंका चोपड़ा जोनस इत्यादि के नाम पर भी ध्यान दे। हालांकि इस विचार का प्रयोग मैं अपने अध्यापन के दौरान पहले ही कर चुका हूँ और इसका सकारात्मक प्रभाव निश्चत रूप से विद्यार्थिओं पर पड़ता है। यह परिवर्तित नाम उन सबों ने शादी के बाद अपनाया था। शादी से पहले उन अभिनेत्रियों का उपनाम क्रमशः शेट्टी,दीक्षित,भादुड़ी और चोपड़ा था। अर्थात यहां पर सामाजिक परिवर्तन दिखता है। या यों कहे की उपनाम में पक्षान्तर हो रहा है।

                            स्टूडेंट्स में फिल्म सेलेब्रेटीस के प्रति अधिक अट्रेक्शन होता है और मैं  Example  मात्र के लिए ही इन हस्तियों के नाम का जिक्र किया हूँ।ये सभी स्टार्स शादी के बाद अपने-अपने उपनामों को परिवर्तित किये है। हमारे घर में,आसपास में,हमारे समाज में यह बदलाव होता ही है।

              सभी इस बारे में जानते भी है,परन्तु क्या यह परिवर्तन गणित के उस पक्षान्तर के  Process को भी दर्शाता है। मेरी राय में :- जी हाँ बिल्कुल यह  Surname  में चेंज होना सामाजिक पक्षान्तर है जिसे एक गणित के शिक्षक होने के नाते समीकरण के पक्षान्तर से जोड़ के देखता हूँ। 

     

                                  बहरहाल सवाल   2 x + 5 = 35   पर बात करते हैं। यहां चर और अचर संख्याओं को बराबर चिन्ह के दोनों तरफ रख के समीकरण बनाया गया है। 

        2 x  एक चर और  5, 35  अचर संख्या है। इसलिए हल करने के लिए पक्षान्तर के बाद बराबर के एक तरफ चर और दूसरे तरफ अचर को रखते हैं।  

 जैसे -
                                                    
                                                   2 x  +  5  =  35 

                                              

 पक्षान्तर करने पर 
                                                     2 x   =  35  - 5  

    

                          जब चर या अचर संख्या बराबर को क्रॉस करके दूसरे तरफ जाती है तो उसका जो भी चिन्ह हो बदल जाती है। यहां  5 अपना स्थान परिवर्तन कर रही है इसलिए उसका चिन्ह भी धन से ऋण में बदल गयी है। अब अचर संख्याओं के बीच सम्बंधित संक्रियाओं के होने पर उसका उत्तर इस लिंक " बीजीय व्यंजक समस्या और समाधान" के अनुसार  आती है। 

                                                             2x  =  30      

                   समीकरण में संख्याओ के पक्षान्तर होने से जिसप्रकार संख्या का चिन्ह बदल जाता है, वैसे ही एक लड़की के शादी हो जाने पर उसके उपनाम में भी परिवर्तन होता है। तात्पर्य कि इन दोनों प्रक्रियाओं को बच्चों के समझ विस्तार के लिए एक समान माना जा सकता है। इसलिए समाजिक पक्षान्तर,गणित के समीकरण में संख्याओं के पक्षान्तर के माफिक है।

                           इसके विपरीत किताब में दिया गया हल बच्चों के संशय को दूर करने के बजाए शंका को बढ़ा देते हैं। किताबी हल निम्नानुसार है :-

                                                    

                                      2 x + 5 = 35  

                                    
   
    बराबर के दोनों तरफ 5 को घटाने पर 

                                        2 x  + 5 - 5   =   35 - 5

 

                              उपरोक्तानुसर किताबी हल में बच्चों को बराबर के दोनों तरफ की संख्याओं में  5  को घटाना होगा। उन्हें कभी-कभी एक ही प्रकार के संक्रिया को पूरा करना जंग लड़ने जैसा लगता है और यहां पर तो एक जैसे दो संक्रिया को दो तरफ साथ-साथ करना होता है।
                              

  तब प्राप्त हल 
                                               
                                                  2 x   =   30 

                                                             

                             इसलिए मेरा मानना है कि तरीका जैसा भी हो  Student को आसानी से समझ में आने वाला होना चाहिए। मुझे ऐसा भी लगता है कि शिक्षक होने के नाते किताबों में लिखे हुए शब्दों,वाक्यों और संख्याओं को हू-ब-हू कक्षा में दुहराना कतई अध्यापन नहीं हो सकता। बल्कि बच्चों के समझ में आने वाली दिक्कतों को अन्य विषय,समाज या परिवेश के साथ निहित अन्तर्सम्बन्ध से जोड़ने की विधियों का ईजाद कर समझ विस्तार करना चाहिए।  

                                                       विषय कोई भी हो अध्ययन-अध्यापन के दौरान विषयों को अन्य विषयों, घटनाओं,समाज और वातावरण से समन्वय रख के पढ़ना चाहिए। चाहे गणित को विज्ञान से जोड़े या सामाजिक अध्ययन को संस्कृत जैसे भाषायिक विषय से मिला के पढ़े। 

                              : आलेख अच्छा और सहायक लगे तो ज्यादा से ज्यादा शेयर करे,पढ़ने के लिए सादर आभार व धन्यवाद :
                            
 

चतुर्भुज के प्रकार

                                    
                                                                        रचनाकार :-उदय सिंह कोलियारे

 होली की अनंत शुभकामनायों के साथ नमस्कार 

                                                                                                                                                                     असंरेख बिंदु है ऐसे चार।                                                                    

           दो-दो मिलाकर घेरों तार।                                                                                                                                                                

                                                      चार भुजा की आकृति बनी अहो।                                                                                                           सब मिलकर इसे चतुर्भुज कहो।                                                                                                              चतुर्भुज  का अपना एक ढंग है।                                                                                                               चार भुजा,चार कोण,दो विकर्ण अंग है।    


             चतुर्भुज के होते हैं,अनेकानेक प्रकार।                                                                                                      बहुत सरल है जानना,देखो इनका आकार।                                                                                              

                                      
             सम्मुख भुजा समान समान्तर, कोण सभी 90 अंश है।                                                                              ऐसे चतुर्भुज सभी,वो आयत वंश के है।                                                                                                                                           

                                                  सभी भुजा समान समान्तर ,कोण सभी 90 अंश है।                                                                                     वर्ग इसे कहते हैं ,ये आयत का अपभ्रंश है।                                                                                              सम्मुख कोण समान जिसमें,भुजाएं ज्यादा न कम है।                                                                                  नहीं और कोई दूसरा,वो चतुर्भुज सम है।                                                               

             दो भुजाएं असमान जिसमें,दो भुजाएं समान्तर पड़ा है।                                                                               समझो मेरे प्यारे बच्चो,चतुर्भुज समलंब खड़ा है।                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        संपादक :-मधु कुमार ठाकुर                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

इंसान और उसकी इंसानियत

                                                                                                   रचनाकार --- उदय सिंह कोलियारे 

 भगवान तेरे इंसान की हालात, क्या हो गयी है आज। 
 तार-तार कर रहे अस्मिता, जरा न आवे लाज। 


                 करतूत है ऐसी इंसानों की, लज्जा भी शर्मा जाये। 
                  देख रहे हो पत्थर बनकर, तुम क्यों नजर झुकाये। 


कितने ही अरमानों से, तुमने इंसान बनाया होगा। 
कितनी रातें,कितने दिन तक, तुमने इन्हें बनाया होगा।


                  सोचा होगा तुमने यह भी, इंसान मेरी सर्वोत्तम कृति है। 
                   भूल गए इंसान तुझे भी, पशुओं सा उसकी प्रवृति है।


द्वार तुम्हारे चढ़ कर वह तो, इंसानियत को रौंदा है। 
अस्तित्व तुम्हारा है कि नहीं, सवाल मन में कौंधा है।


                  अस्तित्व तुम्हारा है यदि, आ करके इन्साफ करो। 
                  लूटा जो मासूम की इज्जत, आ करके उन्हें साफ़ करो। 


नहीं बैर है मेरा तुझसे, मुझे बस यही कहना है। 
लुटे ना मासूम की इज्जत, जो उसका गहना है। 


                 इंसान बनाया है तो भगवन, सबमें इंसानियत भर दें। 
                 डिगे नहीं मन किसी का, सबकी ऐसी नजर कर दे। 


        पिछले Blog को नहीं पढ़े हैं तो इस लिंक धरती के शृंगार- "पेड़"  में जाके देखें। 

                                   "सधन्यवाद" 
                                                                                         सम्पादक :-मधु कुमार ठाकुर    

धरती के शृंगार- "पेड़

                                                                                                             रचनाकार ;-उदय कोलियारे  

पेड़ हावय धरती के शोभा, सब ला देथे छाँव,
जनम मरन के ये संगवारी, महिमा कतिक मे गाव। 
पेड़ बिना प्रकृति अधुरा, जीवन सब मर जाहि,  
 रौद्र रूप भीषण गर्मी म,धरती ह जर जाही।।

                           मनखे मन के मति भ्रष्ट हे,पेड़ बहुत कटत हे,

                           कमती होंगे जीवन धरती म,रोग बहुत बटत हे।
                           पेड़ नहीं रही अगर त,हवा कहाँ से आही,                                                                  
                           हवा बिना सब जीव जंतु मन,सोंचव कहाँ वो जाही।।

                            पेड़ बहुत कटावत हे,वर्षा कहा ले होही, 
                            बिना अनाज के  जीव-जंतु सब,प्राण अपन खोही। 
                             वर्षा के अभाव में,नदी -तरिया सब सुखही,
                            सोचों बिना पानी के तब जीवन कतिक दुखही।।

      विज्ञान करे तरक्की बहुत हे,मनखे मनात जश्न हे,
      पेड़ नहीं रही त जिहु कइसे, अतकी मोर प्रश्न हे। 
      पेड़ बिना विज्ञान हे झूठा,जीवन में भूख अउ प्यास हे, 
      बिना पेड़ के जीना हे मुश्किल,पेड़ जीवन के विश्वास हे। 




                                                                                       

                                                                                 संपादक :-मधु कुमार ठाकुर  

प्रतियोगी परीक्षा के पीछे का विज्ञान

नमस्कार दोस्तों,

                  आज का Blog मेरे उन साथियों को समर्पित है जो प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी में जुटे हैं। इस ब्लॉग में हम उन बातों की ओर फोकस करेंगे जिधर हमारा ध्यान अक्सर जाता ही नहीं है। या हम जानने की कोशिश ही नहीं करते हैं। यह आर्टिकल मेरे खुद के एक्सपीरियन्स पर आधारित है।हालांकि मैंने अभी तक या किसी अन्य प्रतियोगी परीक्षा के लिए कोई ऑफिशल कोचिंग नहीं लिया है।

                   बात यही कोई तकरीबन दो -ढाई साल पहले की है जब मैं CGPSC 2016 का मुख्य परीक्षा लिख के आया था। EXAM  की तैयारी के दौरान सभी प्रतियोगियों के जैसे मैंने भी जब(2012) से पैटर्न बदला था,तब से का UNSOLVED PAPER रखा था।   मुख्य परीक्षा के तीसरे पेपर भारतीय इतिहास और संविधान की तैयारी करते वक्त मुझे जरा भी नहीं लगा था कि शिवाजी के बारे में कोई प्रश्न पूछा जा सकता था। क्योंकि पैटर्न CHANGE होने के बाद तक कभी भी इस प्रकार के प्रश्न को पूछा नहीं गया था।

                     उस साल एक MOVIE खूब फेमस हुआ था जिसका टाइटल नाम था --बाजीराव मस्तानी। जिसमे  शिवाजी के प्रधानमंत्री बाजीराव की कहानी को दिखाया गया था। इस फिल्म में शिवाजी केंद्रीय पात्र नहीं थे। एक फ़िल्मकार सभी प्रकार के दर्शकों को ध्यान में रखकर कोई फिल्म बनाते हैं जिसमें सभी प्रकार के मसालों को भरा जाता है.ताकि Movie  को सराहना तो मिले ही साथ ही फिल्म खूब सारा लागत को वसूल कर पाए।
               लेकिन हम लोग कोई Movie देखते हैं तो सिर्फ मनोरंजन के दृष्टिकोण से देखते है ना। इसलिए हमें हमारी आवश्यकताओं का सामान सामान्य घटनाओं में नहीं मिल पता है। PSC या UPSC की तैयारी करने वालों को Local Man की सोच से अलग विचार रखना होगा। 

                जब हम प्रशासन में जाने के लिए इतनी पढ़ाई और मेहनत करते हैं तो हमें हरेक क्रियाकलाप और घटना को हमारे सब्जेक्ट्स से जोड़कर देखने की कोशिश करनी चाहिए।यहीं पर मुझसे चूक हो गया और मैं इतिहास के उस भाग को स्किप कर गया जिसमें शिवाजी के बारे में दिया गया है। एग्जाम के बाद मैं अपना Valuation करने के लिए जब सभी प्रश्नपत्रों को फिर से खंगाला और ठन्डे दिमाग से सोचा  तब महसूस हुआ कि परीक्षा की तैयारी में ज्यादा पढ़ना ही काफी नहीं है बल्कि क्या पढ़ना और कब पढ़ना है ये भी जानना उतना ही Important है।

               फिल्म देखने के बाद अगर अगले एक दिन में मैं इतिहास के उस हिस्से को थोड़ा सा भी देख    लिया होता तो शायद मुझे वह प्रश्न उतना अटपटा नहीं लगता। एवं मैं दूसरे प्रतियोगी से अलग विचार रखने वाला बन पाया रहता। हम सब लोग जिसप्रकार स्कूल्ज में पढ़ते है उसी तरीके से ही Competition Exam की तैयारी भी करते है इसलिए सफलता के लिए हमे ज्यादा इंतजार करना पड़ता है। 

                       यदि हमारी तैयारी इसीप्रकार साइंटिफिक तरीके की होगी तो हम पूछे जाने वाले बहुत कुछ प्रश्नों को Predict कर सकते हैं। और फिर हमारी जो सोच अभी तक की बनी हुयी है कि प्रतियोगी परीक्षाओं में कुछ भी पूछा जा सकता है,यह बिलकुल भ्रम लगने लगेगा। अगर आपके Exam की तैयारी सभी विषयों में इसीप्रकार की होगी तो आपका आत्मविश्वास भी बढ़ते जायेगा।

       

                            देश -विदेश में इतनी सारी घटनायें घटते रहती है जो कि किसी ना किसी सब्जेक्ट से रीलेटेड रहती है ,बस हमे जागरूक रहने की जरुरत रहती है।अगर हम प्रशासनिक अधिकारी बनना      चाहते हैं तो प्रतिदिन की राष्ट्रीय-अंतराष्ट्रीय घटनाक्रमो को इतिहास,भूगोल,अर्थशास्त्र,विज्ञान,और संविधान की दृष्टि से देखना चाहिए। 

                         अतः जागरूक एवं संवेदनशील परीक्षार्थियों को किसी भी घटना के घटित होने पर उपरोक्त 4 -5 विषयों से जोड़कर देखना चाहिए और अगर उस घटना का विषयों से जरा भी संबंध हो तो उस विषय के उस कड़ी को पढ़ लेना चाहिए। यह तरीका सभी प्रतियोगियों  अपनाना चाहिए। 

                              आगामी परीक्षाओं के लिए बधाई और अनंत शुभकामनायें 
                                                                  सधन्यवाद 

                   

वर्गमूल निकालने के आसान तरीके

                फ्रेंड्स नमस्कार ,

                       वर्गमूल दो शब्दों के मेल से बना है -वर्ग और मूल। अगर हम इनके शब्दों पर जायें तो भिन्न -भिन्न अर्थ मिलेंगे।वर्गमूल ,वर्ग की एक प्रतिलोम संक्रिया है। यहाँ पर विशेष ध्यान देने योग्य बात यह है कि सबसे पहले हमें वर्ग संख्या को याद रखने चाहिए।
                  उसके बाद ही वर्गमूल (Square Root) निकालने की विधियों का अभ्यास किया जाये। तभी वर्गमूल निकालना समस्या ना होकर एक खेल बन जायेगा। यहाँ पर हम सिर्फ वर्ग और वर्गमूल के बीच के संबधों की चर्चा करेंगे। जिससे वर्गमूल आसानी से और Without Calculation के निकाला जा सके। 
                  वर्गमूल भी एक मजेदार टॉपिक्स है,आज हम इसी पर बात करेंगे।दिए गए संख्या का वर्गमूल निकालने का मतलब है कि -उस संख्या के वर्गान्तर्गत ,मूल संख्या क्या है? यही निकलना ही वर्गमूल ज्ञात करना है। 
                 हमने पिछले Blog में वर्ग के कुछ अहम गुणधर्मों पर बात किये थे। अगर आप उस ब्लॉग को पढ़ नहीं पाए है तो दिए गए लिंक में https://mknewtalk.blogspot.com/2019/12/blog-post_21.html में जा के पढ़ सकते है।

                

1 .संख्या समूह का सबसे सरल वर्गमूल संख्या 

                   ये जो संख्या समूह के बॉटम वाली संख्या होती है बड़ा अद्भुत व अद्वितीय होता है। जिसे कमजोर से कमजोर छात्र भी आसानी से याद कर लेता है। इसी खास वजह से सबसे पहले इन Bottom Edge की संख्याओं के वर्ग को याद करने चाहिए। सरल होने के कारण इन संख्याओं के वर्ग जल्दी से याद भी हो जाते है। 

                       संख्या                      वर्ग 

                         10                         100

                         20                         400

                         30                         900

                         40                        1600

                         50                        2500

                         60                        3600 


    

2  .प्रश्न संख्या और वर्गमूल संख्या की इकाइयाँ

 

               प्रश्न संख्या के इकाई अंक को देखें यदि इकाई में  1,4,5,6,9,0 हो तो उन प्रश्न संख्याओं के ही पूर्ण वर्गमूल निकाले जा सकने की सम्भाना होगी।और उनके वर्गमूल वाली संख्याओं की इकाइयाँ क्रमशः 1-9 , 2- 8,  5 , 3 -7 , 4 -6, 0  में आती है। 

     

जैसे -      संख्या               वर्गमूल 

                 

                 1,  81               1, 9        संख्या में 1 है पर वर्गमूल की इकाई में 1 और 9 आया है। 

                 4,  64               2 , 8        यहाँ पर इकाई 4 है तो वर्गमूल संख्या की इकाई में क्रमशः 2                                                                       और 8 हैं।   

                      

                 9, 49                 3, 7         संख्या का इकाई यदि 9 हो तो वर्गमूल की इकाई में 3 या 7 आती है। 

                 5, 25                  5         और अगर 5 इकाई वाली संख्या हो तो वर्गमूल की इकाई में 5 ही                                                                 

             

                 16, 36               4, 6         यहाँ देखें तो इकाई 6 है तो वर्गमूल में 4 या 6 आ सकता है।


इसीप्रकार 
             

                 900                    30         यहाँ पर संख्या और वर्गमूल दोनों की इकाई में 0 है। 

                        जब हम इसका अभ्यास करते जायेंगें तो हम दी गयी संख्या का वर्गमूल नियमतः निकाले बगैर उसके सही हल तक पहुँच सकेंगें।  

3 . संख्या समूह के प्रारम्भ,मध्य,और नीचे की संख्या का वर्गमूल 

                          
                      जब हम उपर्युक्त दो चरणों के काम को अच्छे से कर लें तब यह तीसरा महत्पूर्ण Steps पर काम करेंगें ।यहाँ पर हम संख्या समूह के प्रत्येक स्तम्भ के प्रथम,मध्य,और नीचे के संख्याओं के वर्ग संख्या का भी अध्ययन और अभ्यास करेंगे। 

जैसे :-                                   1 स्तम्भ          वर्ग           2 स्तम्भ      वर्ग 

                    प्रथम                     21             441                31          961 

                     मध्य                     25             625                35         1225  

                     नीचे                     30              900               40         1600         
                  

                            

                   इसीप्रकार से छात्रों को कम से कम 100 तक की संख्याओं के वर्ग को याद रखने की कोशिश करनी चाहिए। 

अभ्यास के लिए - 

 

                 जैसे किसी ने हमे पूछा कि 4216 का वर्गमूल क्या होगा। उपरोक्त 4 चरणों में इस सवाल को निम्न बिंदुवार परखेंगे :- 

1 .      पहले हम देखेंगें कि यह जो 4216 है। संख्या स्तम्भ के Bottom Edge के कौन -कौन से संख्याओं               के मध्य में आता है।अगर हम ऊपर के First Step पर जबरदस्त होमवर्क किये होंगे। तो हमको                 इसका उत्तर मिल जायेगा कि यह 60 और 70 के मध्य की कोई एक Root Square है। 

2 .      अब हम प्रश्न संख्या के इकाई को देखते है तो 6 अंक मिलता है। और हम जानते है कि संख्या के               इकाई में जब  6  हो तो उसके वर्गमूल वाली संख्या के इकाई में 4 या तो 6 मिलेगा। 

3 .      तब उस संख्या स्तम्भ के मध्य वाली संख्या जो की  65  है,को देखते हैं। तथा 65 का वर्ग 4225                     होगा,जो की पूछे गए 4216 से ज्यादा है। इसलिए सही उत्तर 61 और 65 के बीच में मिलेगा। 

4 .      अतः सही उत्तर 64 होगा। Conformation के लिए 64 का वर्ग निकालते हैं तो 4216 प्राप्त हो जाता            है। 

                      तत्पश्चात 4216 का वर्गमूल निकालेंगे तो 64 प्राप्त होगा। 

                   इसप्रकार हम देखते हैं कि उपर्युक्त तीनों बातों को अगर छात्र बार-बार पढ़े और अभ्यास करे तो मुझे नहीं लगता की छात्रों को वर्ग और वर्गमूल से जुड़े कठिनाईयों से दो-दो हाथ करने में ज्यादा परेशानी का सामना करना पड़ेगा। 

                               
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                                                         सधन्यवाद         

                          

वर्ग (अंकगणित )

                                    गणित में  "वर्ग"  नामक शब्द दो प्रकार के मायनों के लिए प्रचलन में आता है। एक अंकगणित में और दूसरा रेखागणित में। अंकगणित के वर्ग के बारे में आज बात करते हैं।जिसमें कहा गया है कि "किसी संख्या का वर्ग -उस दी हुयी संख्या को स्वयं उसी संख्या से गुना करने पर प्राप्त गुणनफल होता है। 

जैसे --               4 का वर्ग  .......     4 * 4    =   16

                     
                    इससे पहले आपको याद दिला दूँ कि हमने पिछले Blog में बीजीय गणित के कुछ अहम समस्याओं पर बात किये थे। अगर आप उस ब्लॉग को पढ़ नहीं पाए है तो दिए गए लिंकhttps://mknewtalk.blogspot.com/2019/12/blog-post_9.html में जा के पढ़ सकते है।

                

वर्ग संख्या के गुणधर्म ----

                         

1 .   पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाईओं में केवल --0,1,4,5,6, और 9 ही आता है।   

2 .   एक प्राकृत संख्या का वर्ग, एक पूर्ण वर्ग संख्या होती है यदि वह एक प्राकृत संख्या है। 

3 .  सम संख्याओं का वर्ग एक सम संख्या ही होती है। 

4 .  एक पूर्ण वर्ग  (1 के अतिरिक्त ) को सदैव समान अभाज्य गुणनखण्डों के युग्मों के गुणनफल के रूप              में व्यक्त किया जाता है।

5 . n  और  n+1 संख्याओं के वर्गों के बीच  2n  प्राकृत संख्या होती है।   

6 .  एक संख्या के अंत में शून्यों की संख्या अगर विषम हो तो वह पूर्ण वर्ग नहीं होता है।

7 . किसी संख्या में 2 का घात लगे होने पर उसका सरल मान ही वर्ग कहलाता है।